lunes, 27 de febrero de 2012

Teorema de pitágoras






   
     Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió hacia el año 500 antes de Cristo. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Él descubrió la relación que existe entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Esto es, en un triángulo rectángulo cualquiera cuya hipotenusa mide A y los dos catetos miden B y C, se verifica la relación:

A^2 = B^2 + C^2

    Esta relación se conoce como EL TEOREMA DE PITÁGORAS

     

     El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes "a" y "b", y la medida de la hipotenusa es "c", se establece que:

Definiciones Básicas




1. Ángulo: Figura geométrica formada por dos lineas que parten del mismo punto o por dos planos que parten de la misma línea.

Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es superior a 90º.
Ángulo agudo: es aquel cuya medida es inferior a 90º.
Ángulo recto: es aquel cuya medida vale 90º.
Ángulo llano: Un ángulo llano cambia de dirección para apuntar en la contraria, vale 180º.
Ángulo cóncavo: mide más de 180º y menos de 360º.
Ángulo completo: mide 360º.


     2. Triángulo: Polígono de tres vertices y por tanto de tres lados y tres ángulos.

a) Se clasifican Según sus lados:
  • Escaleno: que tiene los tres lados desiguales.
  • Isósceles: que tiene iguales solamente dos ángulos y dos lados.
  • Equilátero: triangulo que todos sus lados y ángulos son iguales.


b) Según sus ángulos los triángulos se clasifican en:
  • Rectángulo: si tiene un ángulo de 90º.
  • Acutángulo: si tienes sus ángulos menores a 90º.
  • Obtusángulo: si tiene un ángulo de mas de 90º.






3. Medidas de Ángulos
       Para medir ángulos se utilizan los siguientes sistemas: 

a) Sistema sexagesimal: Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
1º = 60' = 3600''
1' = 60''

b) Radianes o Sistema circular: En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
Como la longitud de una circunferencia es 2Description: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/grafico/pi.gif radianes, es decir 6.28 radianes, dándole a Description: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/grafico/pi.gif el valor de 3.14
Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2Description: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/grafico/pi.gif).
Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia.
El grado centesimal, grado centígrado o gradián (plural: gradianes), originalmente denominado gon, grade o centígrado —nombres aún en uso en otros idiomas, por ejemplo en portugués se escribe grado— resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades. La circunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a nueve décimos de grado sexagesimal. En las calculadoras suele usarse la abreviatura grad. Se representa como una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Por ejemplo: 12,4574g. Sus divisores son:
1 grado centesimal = 100 minutos centesimales (100m o 100c)
1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100s o 100cc)

      c) El Sistema centesimal: Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales". Los símbolos para esta unidad son: grado g, minutos m, segundos s.

4. Semejanza de los Triángulos:

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.




triángulo
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
razonesángulos

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
razones
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
razones








Razones Trigonométricas




      Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:

  • Seno (sen): razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
  • Coseno (cos):  razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
  • Tangente (tan) (tg):  razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente
  • Cotangente (ctg) (cot):  razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
  • Cosecante (csc):  razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
  • Secante (sec):  razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo
 Éstas son las ecuaciones de cada una de las razones:





Concepto y aplicación de trigonometría


       Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

       Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

  • ·         Astronomía

Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios.


  • ·         Artillería 

 ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una catapulta o con un cañón?


  • ·         Cartografía

 Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.
  • ·         Construcciones

              Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.

  • ·         Navegación


Construcción de cartas marinas en las que se detalla la ubicación de escollos, arrecifes.





Historia de la Trigonometría



              La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas.

       En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea 
recopiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

      Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

          A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca,  lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica.

 
     Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.

         El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y cos nq, en función de potencias de senq y cosq.

         Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.

        Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

         Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. 


       Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.