La historia de la trigonometría se remonta a las
primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin
embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría
en las matemáticas.
En el siglo II a.C. el astrónomo
Hiparco de Nicea
recopiló una tabla
trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y
yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la
cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una
circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno.
No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que
300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos
adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de
astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°,
desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su
método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio
bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos
desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor
del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos
esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica
para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la
India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la
función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al
contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino
la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de
hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta
en sus tablas.
A finales del siglo VIII
los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia
y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas
décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco
funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la
trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos
sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores
modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el
triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se
aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo
astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era
necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica.
Los científicos árabes también
compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la
tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un
error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir
al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de
las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.
El occidente latino se
familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de
astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer
trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y
astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente
siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético,
introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en
vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète
incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas
para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y cos nq, en función
de potencias de senq y cosq.
Los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John
Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También
encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas
proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos
oblicuos.
Casi exactamente medio siglo
después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el
cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton
fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series
infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x
y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las
funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy
desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las
aplicadas.
Por último, en el siglo
XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones
trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números
complejos.
Esto convirtió a la trigonometría
en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler
demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente
producto de la aritmética de los números complejos.